天才高斯——19世纪最伟大的数学家之一，近代数学的奠基者

卡尔·弗里德里希·高斯是个神童在年底前19年，他有了一个非凡的发现2000多年来，人们已经知道如何用尺子和圆规做出等边三角形和正五边形，却不知道如何用质数做出正多边形高斯证明了一个正七边形也可以用尺子和指南针画出来

高斯通过写日记来纪念他的发现，在接下来的18年里，他在这本日记中记录了他的许多发现当他是学生的时候，他取得了很多成功有的是18世纪欧拉，拉格朗日等数学家证明的定理的重新发现，其中许多都是新发现在他学生时代比较重要的发现中，我们可以挑出最小二乘法，数论中二次互反定律的证明以及他对代数基本定理的研究他获得了博士学位，学位论文的题目是所有一元有理代数整函数都可以分解为第一或第二实因子的定理的新证明这是他一生中发表的代数基本定理的四个证明中的第一个在这篇文章中，高斯强调了在证明这个定理的过程中，证明至少一个根的重要性下面的解释可以说明他的想法

我们可以用图解法解这个方程。

证明了有一个复数值z=a+bi满足这个方程用a+bi代替Z，把方程的实部和虚部分开，得到A 2—B 2 = 0，ab—2=0将A和B解释为变量，在同一个坐标系中画出这些函数一个坐标轴代表实部A，另一个坐标轴代表虚部B，我们有两条曲线，一种是由直线a+b=0和a—b=0组成，另一种是由等边双曲线ab=+2组成

显然，两条曲线在第一象限有一个交点P我们要特别注意，第一条曲线的一个分支沿着θ=1π/4和θ=3π/4的方向离开原点，第二条曲线的一条分支渐近地向θ=0π/4和θ=2π/4移动，交点在后两个方向θ=0和θ=π/2之间这个交点A和B的坐标是方程Z 2—4i = 0的解的实部和虚部如果我们原来的多项式方程是三次的而不是二次的，那么一条曲线的一个分支将接近θ=1π/6和θ=3π/6的方向，另一条曲线将接近θ=0π/6和θ=2π/6的方向在任何情况下，这些分支都是连续的，因此它们必须在θ=0到θ=π/3之间的某个位置相交

对于n次方程，曲线的一个分支具有渐近方向θ=1π/2n和θ=3π/2n，而另一个分支具有渐近方向θ=0π/2n和θ=2π/2n这些分支必须从θ=0到θ = π/n相交，A和B在这个交点的坐标就是满足这个方程的复数的实部和虚部所以我们可以看到，一个多项式方程无论是什么次数，都至少有一个复根我们会注意到高斯依靠这些曲线的图形表示来证明它们的相交承认这个结果，证明了多项式方程可以分解为第一或第二实因子

数论

高斯在哥廷根大学读书时就开始写一本重要的数论著作《算术研究》，这是数学文献中的伟大经典之一，在他的博士论文被批准两年后出版这本书由七部分组成前四部分实质上是18世纪数论的浓缩重建讨论的基本原理是同余和剩余类的概念第五部分是二元二次型的理论，特别是形式

方程的解，这部分发展出来的技术，成为了后世代数理论家所做的大量工作的基础第6部分由各种应用程序组成首先，最后一部分最引人注目，是关于素数割线圆方程的求解

高斯·勒让德两年前发表的第二互易定律被称为黄金定律在他的后期著作中，高斯试图得到n=3和4的同余x n = p的类似定理，但在这两种情况下，他发现有必要将整数一词的含义扩大到包括所谓的高斯整数，即形状像a+bi的整数，其中A和B都是整数高斯整数形成一个整环，就像实整数一样，但是更一般整除的问题变得更加复杂，因为5不再是素数，可以分解成两个素数1+2i和1—2i的乘积事实上，任何形如4n+1的实素数都不是高斯素数，而形如4n—1的实素数仍然是广义素数高斯的算术研究包括算术基本定理，它是在整个高斯整数环中继续有效的基本原理之一其实任何因式分解都是唯一的整环，今天叫做高斯整环

任何正整数都可以用一种且只有一种方式表示为质数的乘积。

高斯素数的发现并不都包含在算术研究中。当他还是个14岁的孩子时，高斯用德语在对数表的背面写下了这样一行晦涩的文字:

这行文字说的是一个著名的素数定理:当A无限增大时，小于给定整数A的素数个数趋近于a/lna。

正如我们已经看到的，勒让德是接近发现这个定理，但奇怪的是，正如我们推测的那样，高斯写了这个定理，但他对这个巧妙的结论保密我们不知道他是否证明了这个定理，甚至不知道他什么时候写了这个定理的陈述素数的分布对数学家有很强的吸引力

1845年，当高斯已经是一个老人的时候，巴黎的教授Joseph L . F Bertrand提出了这样一个猜想:如果ngt3，那么n和2n之间至少包含一个素数这个被称为伯特兰公设的猜想是由圣彼得堡大学的帕夫努蒂·切比雪夫在1850年证明的作为他那个时代领先的俄罗斯数学家，切舍夫是罗巴切夫斯基的竞争对手他后来成为法国科学院和英国皇家学会的外籍院士切舍夫显然不知道高斯关于素数的著作他可以证明，如果π/n在n无限增加时逼近一个极限，那么这个极限一定是1，但他无法证明极限的存在直到切比雪夫死后两年，一个证据才广为人知

自欧几里得时代以来，素数的数目和分布就吸引了许多数学家有一个定理，高斯自己在算术研究中举了一个惊人的例子，说明了一个事实，素数的性质甚至以最意想不到的方式侵入了几何领域

在高斯《算术研究》的结尾，收录了他在数学领域最早的重要发现:正七边形的做法通过证明无限可能的正多边形中哪些是可以做的，哪些是不可以做的，他把这门学科引向了它的逻辑结果一般的定理，比如此刻高斯的证明，远比一个特例有价值，不管这个特例有多壮观

费马数

数字是质数，欧拉后来证明这个假设是错误的高斯证明了正17边形是可以做出来的，问题自然产生了:正257边形和正65537边形是否可以用欧几里德的工具做出来

形式，那么，一个规则的N—多边形可以这个问题还有一个方面高斯没有回答，至今无人回答

费马素数的个数是有限的还是无限的。

我们已经知道费马数对于n=5，6，7，8，9来说不是素数，但是看起来很可能只有5个边数为素数的正多边形可以用尺子和圆规做出来，其中两个在古代就已经知道了，另外三个是高斯发现的有一个高斯很崇拜的人，费迪南·哥德霍尔德·爱森斯坦，柏林的一个数学老师，他增加了一个关于素数的新猜想

等等都是质数据说高斯曾经评价说，划时代的数学家只有三个:阿基米德，牛顿和爱森斯坦不幸的是，爱森斯坦不到30岁就去世了

高斯的算术研究一直处于沉睡状态，直到19世纪20年代，C.G.J .雅可比和狄利克雷第一次揭示了一些更深刻的结果是从这项工作中得出的。

高斯对天文学的贡献

日前，巴勒莫天文台台长Josep Piazi发现了一颗新的小行星Ceres但是几个星期后，小行星就不见了高斯相信自己拥有非凡的计算能力和最小二乘法的额外优势，他接受了挑战，从几个记录的观测数据中计算出这颗行星的轨道为了完成从有限的观测数据计算轨道的任务，他设计了一种方法，叫做高斯法，这种方法至今仍被用来跟踪卫星结果非常成功这颗行星在今年年底被重新发现，与他计算的位置非常接近高斯的轨道计算吸引了全世界天文学家的注意，并很快为他在德国数学科学家中赢得了显赫的声誉当时他们大多从事天文学和大地测量学1807年，他被任命为哥廷根天文台台长，并担任了近半个世纪两年后，他的理论天文学经典著作《天体运行论》出版这本书为轨道计算提供了明确的指南到他去世时，这本书已被翻译成英语，法语和德语

可是，轨道计算并不是高斯为自己赢得名声，为后人铺平道路的唯一天文领域在19世纪的第一个十年，他花了很多时间研究微扰问题在高斯的好朋友奥尔勃斯于1802年重新发现小行星帕拉斯·雅典娜之后，摄动问题成为天文学家关注的焦点智行的偏心率比较大，特别是受其他星球引力的影响确定这些引力的影响是N体问题的特例

高斯从早年开始就有意识地追随这两个天才的脚步，寻找最接近的相似解对他来说特别迷人虽然他认为只有部分成果达到了公开发表的质量，但他对这个问题的研究不仅产生了一些天文学论文，还产生了两篇经典论文，一篇是无穷级数，另一篇是数值分析的新方法前一篇论文于1812年提交给哥廷根学会，致力于超几何级数的研究因为本文提出的收敛准则往往被认为开辟了一个严格数学分析的新时代但需要指出的是，对收敛性的深入理解并不妨碍高斯和当时其他伟大的数学家在解决物理问题时使用发散级数，只要他们认为自己可以有把握地这样做

微分几何的起源

高斯在1827年开创的几何学分支叫做微分几何学，它可能更属于分析学而不是传统几何学自牛顿和莱布尼茨以来，人们一直将微积分应用于二维空间中曲线的研究从某种意义上说，这部著作构成了微分几何的雏形欧拉和蒙田将这一应用扩展到曲面的分析研究，因此，他们有时被视为微分几何之父可是，直到高斯的经典著作《曲面通论》出版后，才出现了一本完全致力于这一课题的综合性著作粗略地说，正统几何感兴趣的是给定几何图形的整体，而微分几何关心的是曲线或曲面所在点的邻域性质在这个方向上，高斯通过定义曲面在一点上的曲率——高斯曲率或全曲率，扩展了惠更斯和克莱尔在平面曲线或非对称曲线的曲率上所做的工作

如果把好曲面S上的一个点P作为S的法线N，经过N的平面光束将与曲面S相交成一簇平面曲线，每条曲线都有一个曲率半径曲率半径最大和最小的曲线的方向称为S在P点的主方向，它们总是互相垂直的而r的大小称为s在p点的主曲率半径，s在p点的高斯曲率定义为K=1/rR

称为S在p点的平均曲率，高斯根据曲面在不同坐标系中偏导数的条件给出了高斯曲率k的公式他还发现了一些关于画在曲面上的曲线簇性质的定理，连他自己都认为是了不起的定理

高斯开始用欧拉提出的一个曲面的参数方程来处理曲面高斯证明了曲面的性质只依赖于E，F和g

这导致了许多结果特别是，这使得说曲面的性质是常数变得很容易正是在高斯的这项工作的基础上，黎曼和后来的几何学家改变了微分几何的主题

高斯的晚期作品

高斯的后期研究贡献了两篇重要的论文:一篇是代数中哈里奥特定理的证明，另一篇包括高斯的最小约束原理历史学家经常引用第一篇论文，因为它包含了高斯复数的几何表示这篇论文整体的重要性在于，它指出了一条将数论从实数域扩展到复数域，甚至更远的途径正如上面已经指出的，这在数论领域后来的研究者的工作中是非常重要的

在他生命的最后20年里，高斯只发表了两篇具有数学意义的重要论文一个是他对代数基本定理的第四个证明这个证明是在1849年他获得博士学位的周年纪念日发布的，距离他发表第一个证明已经50年了另一篇关于位势理论的有影响力的论文，发表于1840年在20世纪30年代和40年代初，地磁占据了他的大量时间在20世纪30年代后期，他也花了很多时间研究与重量和测量有关的问题他生命最后十年的大部分出版物都与天文台的工作有关，涉及的主题有:新发现的小行星和海王星的观测

日前，高斯死于心脏病发作。

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